关于 Hamming 图本征函数的强节点域

$n$ 维超立方的拉普拉斯矩阵具有 $n+1$ 个不同的特征值 $2i$，其中 $0\leq i\leq n$。2004 年，B\i y\i ko\u{g}lu、Hordijk、Leydold、Pisanski 和 Stadler 启动了对超立方具有最少弱节点域和强节点域的本征函数的研究。特别是，他们证明了对于每一个 $1\leq i\leq \frac{n}{2}$，都存在一个特征值为 $2i$ 的超立方本征函数恰好具有两个强节点域。基于计算实验，他们推测该结果也适用于所有 $1\leq i\leq n-2$。在本工作中，我们确认了该猜想：若 $i$ 为奇数，则适用于 $i\leq \frac{2}{3}(n-\frac{1}{2})$；若 $i$ 为偶数，则适用于 $i\leq \frac{2}{3}(n-1)$。我们还考虑了维数 $n$、阶数 $q\geq 3$ 的 Hamming 图 $H(n,q)$（当 $q=2$ 时，该图与 $n$ 维超立方相同），并为所有 $q\geq 3$ 获得了更强的结论。