关于特征函数线性组合的 Courant 节点域性质，第一部分

Pierre Bérard; Bernard Helffer

关于特征函数线性组合的 Courant 节点域性质，第一部分

偏微分方程分析 2022-01-11 v5 数学物理微分几何 math.MP 谱理论

作者: Pierre Bérard , Bernard Helffer

摘要

根据 Courant 定理，与第 $n$ 个特征值 $\lambda\_n$ 相关的特征函数至多具有 $n$ 个节点域。Courant 与 Hilbert 著作中的一个脚注指出，对于与小于或等于 $\lambda\_n$ 的特征值相关的任意特征函数线性组合，同样的断言成立。我们称此断言为\emph{扩展 Courant 性质}。\smallskip本文给出了扩展 Courant 性质不成立的简单而明确的例子：在 $\R^n$ 中的凸区域（超立方体与等边三角形）、 $\mathbb{R}^2$ 中带裂缝的区域、球面 $\mathbb{S}^2$ 上以及平坦环面 $\mathbb{T}^2$ 上。

关键词

Courant 定理节点域特征函数线性组合扩展 Courant 性质凸区域平坦环面

引用

@article{arxiv.1705.03731,
  title  = {On Courant's nodal domain property for linear combinations of eigenfunctions, Part I},
  author = {Pierre Bérard and Bernard Helffer},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1705.03731},
  year   = {2022}
}

备注

To appear in Documenta Mathematica.Modifications with respect to version 4: Introduction rewritten. To shorten the paper two sections (Section 7, Numerical simulations and Section 8, Conjectures) have been removed and will be published elsewhere. Related to the paper arXiv:1803.00449v2. Small overlap with arXiv:1803.00449v1 which will be modified accordingly

关于特征函数线性组合的 Courant 节点域性质，第一部分

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关键词

引用

备注

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