台球本征函数的临界划分与节点亏损

本文讨论了有界区域中具有Dirichlet边界条件的Schrödinger算子本征函数的节点域数量。在一维情况下，第n个本征函数有n个节点域。Courant定理指出，在任何维度中，第n个本征函数的节点域数量不能超过n。然而，在高于1的维度中，等式仅对有限多个本征函数成立。因此，产生了“节点亏损”。已知存在具有任意大指标n且仅有2个节点域的本征函数的例子。近年来，人们建议考察区域的划分，而非本征函数本身。Helffer、Hoffmann-Ostenhof和Terracini最近的一篇论文表明（在某些自然条件下），最小化划分子域中基态能量最大值的二分划分对应于“Courant尖锐”本征函数，即那些节点亏损为零的本征函数。在本文中，作者证明，在某些一般性条件下，在二分等分划分中，节点划分恰好对应于一个类似泛函的临界点，且节点亏损等于该点的Morse指标。这特别解释了为什么所有最小划分都必须是Courant尖锐的。