计数触及解析区域边界的节线

我们考虑实解析平面区域 $\Omega$ 的 Neumann 本征函数 $\phi_{\lambda}$ 在边界 $\partial \Omega$ 上的零点。我们证明其边界零点的数量为 $O (\lambda)$，其中 $-\Delta \phi_{\lambda} = \lambda^2 \phi_{\lambda}$。我们还证明，Neumann 或 Dirichlet 本征函数的边界临界点数量均为 $O(\lambda)$。由此可知，$\phi_{\lambda}$ 的节线（节集的分量）中触及边界的数量级为 $\lambda$。该上界与总节线长度同阶，但是内部节分量数量 Courant 界的平方根。更一般地，这些结果对分段解析区域也成立。