Robin 特征函数节点集的测度上界

在本文中，我们得到了带 Robin 边界条件的特征函数节点集的 Hausdorff 测度上界，即\n\begin{equation*} {\left\{\begin{array}{l} \triangle u+\lambda u=0,\quad in\quad \Omega,\\ u_{\nu}+\mu u=0,\quad on\quad\partial\Omega, \end{array} \right.} \end{equation*}\n其中区域 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$，$u_{\nu}$ 表示 $u$ 沿 $\partial\Omega$ 外法向的导数。我们证明，若 $\Omega$ 有界且为解析域，且相应特征值 $\lambda$ 足够大，则特征函数节点集的测度上界为 $C\sqrt{\lambda}$，其中 $C$ 为仅依赖于 $n$ 和 $\Omega$ 而不依赖于 $\mu$ 的正常数。我们还证明，若 $\partial\Omega$ 为 $C^{\infty}$ 光滑且 $\partial\Omega\setminus\Gamma$ 为分段解析，其中 $\Gamma\subseteq\partial\Omega$ 为 $\partial\Omega$ 上某些 $n-2$ 维子流形的并，$\mu>0$，且 $\lambda$ 足够大，则 $u$ 的节点集相应测度上界为 $C(\sqrt{\lambda}+\mu^{\alpha}+\mu^{-c\alpha})$（对某个正数 $\alpha$），其中 $c$ 为仅依赖于 $n$ 的正常数，$C$ 为依赖于 $n$、$\Omega$、$\Gamma$ 和 $\alpha$ 的正常数。