Steklov 特征函数节点集的 Hausdorff 测度估计

我们研究具有 $\mathcal{C}^2$ 边界的有界域中 Steklov 特征函数的节点集。我们的第一个结果是节点集 Hausdorff 测度的下界：我们证明对于特征值 $\lambda\neq 0$ 的 Steklov 特征函数 $u_{\lambda}$，有 $\mathcal{H}^{d-1}(\{u_{\lambda}=0\})\geq c_{\Omega}$，其中 $c_{\Omega}$ 与 $\lambda$ 无关。我们还证明了几乎尖锐的上界，即 $\mathcal{H}^{d-1}(\{u_{\lambda}=0\})\leq C_{\Omega}\lambda\log(\lambda+e)$。