Beurling 定理与 Hardy 空间上移位算子的不变子空间

设 $G$ 为复平面上的有界开集，$H^{2}(G)$ 表示 $G$ 上的 Hardy 空间。如果一个有界单连通域 $W$ 满足：从 $W$ 到单位圆盘 $D$ 的 Riemann 映射的逆的边界值函数关于 $\partial D$ 上的 Lebesgue 测度几乎是 1-1 的，且该 Riemann 映射属于 $H^{\infty}(W)$ 中多项式的弱星闭包，则称 $W$ 为完美连通域。我们的主要定理指出：为了使每个 $M\in Lat(M_{z})$ 都存在 $u\in H^{\infty}(G)$ 使得 $M = \vee\{u H^{2}(G)\}$，其充要条件是以下成立：1) $G$ 的每个分量都是完美连通域。2) $G$ 各分量的调和测度相互奇异。3) 多项式集在 $H^{\infty}(G)$ 中弱星稠密。此外，如果 $G$ 满足这些条件，则每个 $M\in Lat(M_{z})$ 都具有 $u H^{2}(G)$ 的形式，其中 $u\in H^{\infty}(G)$，且 $u$ 限制在 $G$ 的每个分量上要么是内函数，要么为零。