具 $C^2$ 边界区域的整体 Newlander-Nirenberg 定理

Newlander-Nirenberg 定理指出，形式可积的复结构局部等价于复欧几里得空间中的标准复结构。本文中，我们考虑在存在 $C^2$ 严格伪凸边界时 Newlander-Nirenberg 定理的两个自然推广。当给定的形式可积复结构 $X$ 定义在具有 $C^2$ 边界 $D\subset \mathbb{C}^n$ 的有界严格伪凸域的闭包上时，我们证明存在定义在 $\overline{D}$ 上的整体全纯坐标系，可将 $X$ 变换为标准复结构，前提是 $X$ 充分接近标准复结构。此外，我们证明此种接近性在 $\partial D$ 的微小 $C^2$ 扰动下是稳定的。作为推论，当给定的形式可积复结构定义在 $C^2$ 实超曲面 $M\subset \mathbb{C}^n$ 中某点的单侧邻域上时，我们证明在 $M$ 关于给定复结构严格伪凸的条件下局部单侧全纯坐标系的存在性。我们也获得了结构为有限光滑时的结果。