5-流形上的高对称 2-平面场与 5 维海森堡群和乐

Nurowski 证明了 5-流形 $M$ 上的任何一般 2-平面场 $D$ 都决定了 $M$ 上的一个自然共形结构 $c_D$；这些共形结构（在定向 $M$ 上）正是其法共形和乐包含在（分裂实）单李群 $G_2$ 中的那些结构。Graham 和 Willse 证明了对于实解析 $D$，同样的结论也适用于 $c_D$ 的实解析 Fefferman-Graham 环境度规的和乐，并且对于几乎所有 $D$，这两个和乐群都等于 $G_2$。我们在此独立地研究那些相关和乐群是 $G_2$ 真子集的有趣平面场。Cartan 解决了 2-平面场 $D$ 的局部等价问题，并为这些对象构造了基本曲率张量 $A$。此外，他声称描述了无穷小对称代数秩至少为 6 的所有局部 $D$，并为那些进一步满足 $A$ 上自然退化条件的 $D$ 给出了依赖于单变量单个函数的局部准正规形式，但 Doubrov 和 Govorov 最近重新发现了一个反例来反驳 Cartan 的主张。我们证明，对于由 Cartan 所谓准正规形式给出的所有 $D$，通过 Nurowski 构造诱导的共形结构 $c_D$ 几乎是爱因斯坦的，我们可以显式写出它们的环境度规，并且与 $c_D$ 相关的和乐群始终是 5 维海森堡群，该群在此处以不可分解但非不可约的方式作用。（然而，并非所有这些性质都适用于 Doubrov 和 Govorov 的反例。）我们还证明了类似结果适用于由常微分方程 $z'(x) = F(y''(x))$ 在适当射影空间上定义的相关 2-平面场类，只要其满足简单的通用性条件。