模型流形上旋转不变泊松方程的过确定性问题

我们论文中提出了与旋转不变泊松方程 $-\Delta_{g_\mathcal{M}} u = f(r)$ 在模型流形 $\mathcal{M} = [0,S) \times_h \mathbb S^{N-1}$ 上相关的过确定性问题的刚性结果，其中 $h$ 为纺帛函数。变量 $r$ 取于区间 $[0,S)$，其端点 $S$ 为正数且可能为无穷。论文的前半部分处理问题 \begin{array}{ll} -\Delta_{g_\mathcal{M}} {u}=f(r) &\mbox{in $\Omega$}, u=\varphi(r) &\mbox{on $\partial \Omega$}, \frac{\partial u}{\partial \nu} = \kappa(r) &\mbox{on $\partial \Omega$}, \end{array} 其中 $\Omega \subset \mathcal{M}$ 为包含点 $O \in \mathcal{M}$（对应 $r = 0$）的有界域，$\nu$ 为 $\partial \Omega$ 上的外单位法向量，$f$, $\varphi$, $\kappa$ 为三个给定函数。在论文的后半部分，我们考虑在域 $\Omega \setminus \overline B_{R_0}(O)$ 中进行的类似过确定性问题，其中 $B_{R_0}(O)$ 表示以 $O$ 为中心、半径为 $R_0$ 的测地球。我们给出 $f$, $\varphi$ 和 $\kappa$ 的条件，使得解 $u$ 为径向函数且 $\Omega$ 为以 $O$ 为中心的测地球。我们的结果特别适用于三种空间形式 $\mathbb{R}^N$, $\mathbb{H}^N$ 和 $\mathbb{S}^N$。