三维多面体域上有限元法的各向异性正则性与最优收敛率

我们考虑模型泊松问题 $-\Delta u = f \in \Omega$，$u = g$ 于 $\pa \Omega$，其中 $\Omega$ 是 $\RR^n$ 中的有界多面体域。本文的目标有两个。第一个目标是利用数据和解的适当加权空间来回顾我们模型问题的适定性和正则性。我们利用这些结果推导了凹域上具有零边界条件的拉普拉斯算子的定义域，这似乎此前尚未得到充分研究。我们还提到了将我们的结果推广至弹性方程界面问题的一些情形。第二个目标是说明拉普拉斯算子在三维中的各向异性加权正则性结果如何用于设计椭圆边值问题的高效有限元离散化，重点在于 $\RR^3$ 中多面体域上泊松问题的高效离散化，遵循 {\em Numer. Funct. Anal. Optim.}, 28(7-8):775--824, 2007。论文第二部分描述和使用的各向异性加权正则性结果是论文第一部分描述的（各向同性）加权 Sobolev 空间中适定性结果的推论。本文基于最后一位作者在 2011 年罗马尼亚数学家大会（布拉索夫）上的报告，主要是一篇综述论文。