分数阶 Hardy 算子的 Poisson 问题：分布恒等式与奇异解

本文旨在研究并分类含原点有界域 Ω ⊂ ℝ^N（N ≥ 2）中分数阶 Hardy 算子 L_μ^s u = (-Δ)^s u + μ/|x|^{2s} u 的 Poisson 问题 $$\left \{ \begin{aligned} {\mathcal L}^s_\mu u = f \quad\ {\rm in}\ \, \Omega\setminus \{0\},\\ u =0 \quad\ {\rm in}\ \, {\mathbb R}^N \setminus \Omega\ \end{aligned} \right.$$ 的奇异解。其中 (-Δ)^s（s∈(0,1)）为 2s 阶分数阶拉普拉斯算子，且 μ ≥ μ_0，其中 μ_0 = -2^{2s}Γ^2((N+2s)/4)/Γ^2((N-2s)/4) < 0 为分数阶 Hardy 不等式中的最佳常数。该分析需要对基本解及相关的分布恒等式进行深入研究。我们将特别关注临界情形 μ = μ_0，它比 μ > μ_0 的情形需要更精细的估计。