Hardy 势能与记忆项下的 Heisenberg 群上的各向异性抛物方程

我们研究了在 Heisenberg 群 $\mathbbm{H}^N$ 上的一类各向异性抛物方程，包含 Hardy 型奇异势、非局部记忆项以及时空驱动项：\begin{align} \partial_tu-\Delta_{H}u=\lambda \frac{\psi u}{\|\cdot\|^{2}_{H}}+\frac{1}{\Gamma(\gamma)}\int_0^t(t-\tau)^{\gamma-1}|u(\tau)|^{p}d\tau+t^\alpha f \text{ in } \,\mathbbm{H}^N\times (0,T). \end{align} 这里，$\gamma\in [0,1),$，$\alpha\in (-1,\infty),$，$p>1,$，$\lambda>0,$，且$\psi(\cdot)=|\nabla_{H}\|\cdot\|_{H}|^2,$，其中$\nabla_H$ 是与$\Delta_H$ 关联的水平梯度。$|\cdot|_{H}$ 和$\Delta_{H}$ 分别是Kor\'{a}nyi 范数和亚拉普拉斯算子，关联于 Heisenberg 群的亚黎斯米尔几何。Hardy 势能与记忆核的组合引入了显著的分析挑战。我们利用适用于 Heisenberg 群设置的 Harnack 不等式，获得了量化的正性估计，从而进行详细的 blow-up 分析。我们确定基于 $p,\gamma,\alpha$ 的参数区间，导致有限时间 blow-up 或瞬时 blow-up，并在缺少 Hardy 势能的情况下建立局部良好可解性。这些结果揭示了空间奇异性、时空非局部性与时依赖驱动项之间的相互作用。最后，在驱动项 $f$ 满足适当下界时，我们推导出局部解的显式寿命估计。