Heisenberg群无界域上的梯度型系统
偏微分方程分析
2020-04-27 v1
摘要
本文的目的是研究定义在Heisenberg群ℍⁿ=ℂⁿ×ℝ(n≥1)的无界域Ω_ψ上、涉及Sobolev-Hardy势的某些单参数次椭圆梯度型弱解的存在性,该域的几何轮廓由两个在有界集上有界的正实函数ψ₁和ψ₂决定。所处理的问题具有变分结构,基于此,我们能够证明存在开区间Λ⊂(0,∞),使得对每个参数λ∈Λ,该系统至少有两对非平凡的对称弱解,这些弱解关于Sobolev HW^{1,2}_0-范数一致有界。此外,该存在性在某些非线性项的小次临界扰动下是稳定的。主要证明关键基于Palais对称临界性原理,通过发展酉群𝕌(n)=U(n)×{1}上的群论方法,并利用最近证明的Folland-Stein空间HW^{1,2}_0(Ω_ψ)的某些𝕌(n)-不变子空间到Lebesgue空间的紧嵌入结果而获得。我们变分方法的一个关键要素是一个非常一般的极小极大论证,适用于定义在自反Banach空间上的足够光滑的泛函。
引用
@article{arxiv.1909.11918,
title = {Gradient-type systems on unbounded domains of the Heisenberg group},
author = {Giovanni Molica Bisci and Dušan D. Repovš},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.11918},
year = {2020}
}