具有极软势的空间齐次 Landau 方程的局部正则性

本文研究具有极软势（包括库仑情形）的空间齐次 Landau 方程。这一非线性方程属抛物型，其扩散矩阵由解与矩阵 $a_{ij} (z)=|z|^\gamma (|z|^2 \delta_{ij} - z_iz_j)$（$\gamma \in [-3,-2)$）的卷积给出。我们导出局部截断熵估计，并用其确立两个事实。首先，我们证明如 [C. Villani, Arch. Rational Mech. Anal. 143 (1998), 273-307] 中构造的弱解其奇点集（在时间与平面速度中）具有零 $\mathscr{P}^{m_\ast}$ 抛物 Hausdorff 测度，其中 $m_\ast:= \frac72 |2+\gamma|$。其次，我们证明若此类弱解轴对称，则其远离对称轴处光滑。特别地，径向对称弱解在原点以外光滑。