Heisenberg 群中非局部-Sobolev 不等式临界点的量化稳定性

我们研究了 Heisenberg 群中非局部 Sobolev 不等式的量化稳定性：\n\n\begin{equation*}\label{non-Sobolev} C_{HL}(Q,\mu) \left(\int_{\mathbb{H}^{n}}\int_{\mathbb{H}^{n}}\frac{|u(\xi)|^{Q^{\ast}_{\mu}}|u(\eta)|^{Q^{\ast}_{\mu)}}{|\eta^{-1}\xi|^{\mu}}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\right)^{\frac{1}{Q^{\ast}_{\mu}}}\leq \int_{\mathbb{H}^{n}}|\nabla_{H}u|^{2}\mathrm{d}\xi,\qquad\forall u\in S^{1,2}(\mathbb{H}^{n}), \end{equation*}\n\n其中 $Q=2n+2$ 为 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^{n}$ 的齐次维数，$\mu\in(0,Q)$，$Q^{\ast}_{\mu}=\frac{2Q-\mu}{Q-2}$ 为两个参数，分别对应于 Heisenberg 群上的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式和 Folland-Stein 不等式，$C_{HL}(Q,\mu)$ 为非局部 Sobolev 不等式的锐常数。具体而言，当 $u$ 接近求解欧拉方程\n\n\begin{equation*}\label{non-critical-n} -\Delta_{H} u=\left(\int_{\mathbb{H}^{n}}\frac{|u(\eta)|^{Q^{\ast}_{\mu)}}{|\eta^{-1}\xi|^{\mu}}\mathrm{d}\eta\right)|u|^{Q^{\ast}_{\mu}-2}u,\qquad\xi,\eta\in\mathbb{H}^{n}, \end{equation*}\n\n时，自然距离 $d(u)=||\nabla_{H}u-\nabla_{H}U_{\lambda,\zeta}||_{L^{2}}$ 到优化解集合 $U_{\lambda,\zeta}$ 的距离，可以线性受函数导数项\n\n\begin{equation*} \Gamma(u)=\left\|\Delta_{H}u+\left(\int_{\mathbb{H}^{n}}\frac{|u(\eta)|^{Q^{\ast}_{\mu}}}{|\eta^{-1}\xi|^{\mu}}\mathrm{d}\eta\right)|u|^{Q^{\ast}_{\mu}-2}u\right\|_{(S^{1,2}(\mathbb{H}^{n}))^{-1}} \end{equation*}\n\n来界定。对于弱相互作用气泡解 $\sum\limits_{i=1}^{\nu}U_{\lambda_{i},\zeta_{i}}$，当维数 $Q=4$ 时，上述量化稳定性结果依然成立。