泊松方程概周期解的正则性

本文讨论 $\mathbb{R}^n$ 中泊松方程 $-\Delta u = f$ 概周期解的一些正则性，其中 $f$ 为概周期函数。Sibuya [Almost periodic solutions of Poisson's equation. Proc. Amer. Math. Soc., 28:195--198, 1971.] 已证明：若 $u$ 是有界连续函数且在分布意义下求解泊松方程，则 $u$ 是概周期函数。在本工作中，我们将通常的有界性假设放宽为分布意义下的有界性，我们称之为有界广义函数。有界广义函数的集合比通常有界函数的集合更广。然后，在假设 $u$ 是有界广义函数且在分布意义下求解泊松方程的前提下，我们证明该解在通常意义下是有界的、连续的且是概周期的。此外，我们证明了解的一阶偏导数 $\partial u/ \partial x_i$ ($i=1, \ldots, n$) 也是连续、有界的概周期函数。该技术基于对分布意义下泊松方程解的格林函数表示公式进行扩展。我们还展示了一些可用于研究其他椭圆问题的分布有用性质。