周期与几乎周期线性算子的 Liouville 型结果

我们关注将有界调和函数的经典 Liouville 定理推广至更一般方程解的一些扩展。我们处理周期与几乎周期抛物型方程的整体解，其中包括椭圆框架作为特例。我们导出了关于周期算子的 Liouville 型结果，这是基于仅在单一变量上周期的算子结果得出的推论，即便在椭圆情形下这也是新的。更确切地说，我们证明若 $c\leq0$ 且 $a_{ij}, b_i, c, f$ 在同一空间/时间方向上具有相同周期，则方程 $$\partial_t u-a_{ij}(x,t)\partial_{ij}u-b_i(x,t)\partial_iu-c(x,t)u=f(x,t),\quad x\in\R^N,\ t\in\R,$$ 的任何有界解 $u$ 在该方向上是周期的。随后我们导出如下 Liouville 型结果：若 $c\leq0, f\equiv0$ 且 $a_{ij}, b_i, c$ 在所有空间/时间变量上具有相同周期，则上述方程的有界解空间维数至多为 1。对于方程 $\partial_t u-Lu=f(x,t)$，其中 $L$ 为与 $t$ 无关的周期椭圆算子，假设 $c\leq0$ 可减弱为要求 $-L$ 的周期主特征值非负。相反，周期性假设不可放松，因为我们明确构造了一个几乎周期函数 $b$，使得 $\R$ 中 $u''+b(x)u'=0$ 的有界解空间维数为 2，且由常数解和一个非几乎周期解生成。接下来，导出了任意有界解为几乎周期的充分条件。我们还处理了在 Dirichlet 或 Robin 边界条件下周期域的情形。