具有两边 Dirichlet 条件的 $2 \times 2$ 三角双曲系统的粘性消失解

我们考虑定义域 $(t, x) \in ]0, + \infty[ \times ]0, l[$ 上的 $2 \times 2$ 抛物型系统 \begin{equation*} u^{\epsilon}_t + A(u^{\epsilon}) u^{\epsilon}_x = \epsilon u^{\epsilon}_{xx} \end{equation*} 并在 $x=0$ 与 $x=l$ 处施加 Dirichlet 边界条件。矩阵 $A$ 假设为三角形式且严格双曲,且边界非特征,即 $A$ 的特征值均不为 0。我们证明,若初值与边界数据的总变差充分小,则解 $u^{\epsilon}$ 对所有 $t \geq 0$ 存在,且在 $L^1$ 中对初值与边界数据 Lipschitz 连续依赖。此外,当 $\epsilon \to 0^+$ 时,解 $u^{\epsilon}(t)$ 在 $L^1$ 中收敛到唯一极限 $u(t)$,其可视为拟线性双曲系统 \begin{equation*} u_t + A(u)u_x = 0, \quad x \in ]0, l[. \end{equation*} 的粘性消失解。此解 $u(t)$ 在 $L^1$ 中关于初值与边界数据 Lipschitz 连续依赖。我们还精确刻画了双曲系统之解以何种意义满足边界数据。2000 Mathematics Subject Classification: 35L65. 关键词: 双曲系统, 守恒律, 初边值问题, 黏性逼近。