从$RCD(K,N)$空间到$CAT(0)$空间的调和映射的最优边界正则性

1983年，Schoen-Uhlenbeck \cite{SU83} 在假设边界和数据都具有$C^{2,\alpha}$正则性的条件下，建立了光滑流形间满足Dirichlet边界条件的能量极小化映射的边界正则性。一个自然的问题是研究具有粗糙边界和/或非光滑边界数据的调和映射的定性边界行为。对于$u$是域$\Omega\subset \mathbb R^n$上的调和函数这一特殊情况，该问题已被广泛研究（例如，参见专著\cite{Kenig94}、2010年国际数学家大会论文集\cite{Tor10}以及Mourgoglou-Tolsa的近期工作\cite{MT24}）。当$\partial\Omega$是Lipschitz（甚至更一般）且边界数据属于$W^{1,p}(\partial\Omega)$时，$W^{1,p}$-正则性（$1<p<\infty$）已得到很好的确立。然而，对于边界数据为Lipschitz连续的端点情况，正如Hardy-Littlewood的经典例子\cite{HL32}所证明的那样，即使边界是光滑的，梯度$|\nabla u|(x)$在$x$趋近于边界$\partial \Omega$时也可能具有对数增长。在本文中，我们首先在$RCD(K, N)$度量测度空间的有界域上建立了一个Gauss-Green公式的版本。然后，我们应用它来获得从$RCD(K, N)$度量测度空间到$CAT(0)$度量空间的调和映射的最优边界正则性。我们的结果即使对于欧几里得空间中Lipschitz域上的调和函数也是新的。