Stokes--Dirichlet 问题的最优正则性结果

我们发展了针对无黏性边界条件的 Stokes 方程（包括 resolvent 形式和演化形式）的锐利最大正则性理论，关注边界正则性较低的有界域。我们的框架涵盖了完整的 Besov 空间和 Sobolev 空间尺度，$B^s_{p,q}$ 和 $H^{s,p}$，包括端点情形如 $L^\infty$。我们的ethods also allows extending the classical $L^p$-theory for $1\leqslant p\leqslant\infty$，为包括 Bessel 势空间 $H^{s,p}$ 和 Besov 空间 $B^s_{p,q}$、$p,q\in[1,\infty]$ 的完整图景。我们的第一个主要结果在半空间上建立涵盖端点函数空间的 resolvent 估计，而第二个结果处理边界正则性最小的有界域。在两种情况下，我们都导出 resolvent 界限，证明 $\mathbf{H}^\infty$-函数计算对 Stokes--Dirichlet 算子的有界性，并精确描述其分数次方的定义域。在半空间 setting 中，我们使用齐次 Sobolev 和 Besov 空间，遵循 Bahouri、Chemin 和 Danchin 的概念，进一步由第二作者细化。旋流函数空间的分析在此提供了针对不可压缩流动研究的完整工具包。作为 our analysis 的结果，我们获得了 Stokes--Dirichlet 算子在 $L^\infty(\mathbb R^n_+)$ 上的显式描述，这似乎是全新的。对于有界域，我们在最小假设下的粗糙域上获得了锐利结果。为此，我们依赖于 Sobolev 乘子理论。假设与 Maz'ya--Shaposhnikova 已在拉普拉斯带 Dirichlet 边界条件的情况下证明最优一致。