$L_{p}$-空间中的多边形等式与虚拟退化性

设 $0 < p \leq 2$ 且 $(\Omega, \mu)$ 是一个测度空间，使得 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 至少是二维的。本文的核心结果完整描述了 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 中具有严格 $p$-负类型的子集。为此，我们研究 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 中的非平凡 $p$-多边形等式。这些等式经过适当重排和简化后，可表示为 \begin{eqnarray*} \sum\limits_{j, i = 1}^{n} \alpha_{j} \alpha_{i} {\| z_{j} - z_{i} \|}_{p}^{p} & = & 0 \end{eqnarray*} 的形式，其中 $\{ z_{1}, \ldots, z_{n} \}$ 是 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 的一个子集，而 $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ 是和为零的非零实数。我们给出了 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 中非平凡 $p$-多边形等式的完整分类。$p < 2$ 和 $p = 2$ 的情形有本质区别，分别处理。$p = 1$ 的情形推广了 Elsner、Han、Koltracht、Neumann 和 Zippin 的一个优美结果。研究 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 中非平凡 $p$-多边形等式的另一个原因是它们排除了某些类型等距映射的存在性。例如，我们的技巧表明，若 $(X,d)$ 是一个对某个 $q \geq p$ 具有严格 $q$-负类型的度量空间，则：(1) $(X,d)$ 不等距于 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 的任何包含一对支集不相交的非零向量的线性子空间 $W$；(2) $(X,d)$ 不等距于 $L_{p}(\Omega, \mu)$ 的任何具有非空内部的子集。此外，在 $p = 2$ 的情形下，还可推出 $(X,d)$ 不等距于 $L_{2}(\Omega, \mu)$ 的任何仿射相关子集。