$L_p$ 空间的两值子集的几何

设 $\mathcal{M}(\Omega, \mu)$ 表示测度空间 $(\Omega, \mu)$ 上所有标值可测函数的代数。设 $B \subset \mathcal{M}(\Omega, \mu)$ 为有限支撑可测函数的集合，且对每个 $f \in B$，其本质值域是 $\{0,1\}$ 的子集。本文的主要结果表明，对于任意 $p \in (0, \infty)$，当 $B$ 作为 $L_p(\Omega, \mu)$ 的度量子空间时具有严格 $p$ 负型，当且仅当 $B$ 是 $\mathcal{M}(\Omega, \mu)$ 的仿射无关子集（将 $\mathcal{M}(\Omega, \mu)$ 视为实向量空间时）。由此可得，$L_p(\Omega, \mu)$ 的每个两值（Schauder）基都具有严格 $p$ 负型。例如，对于每个 $p \in (0, \infty)$，$L_p[0,1]$ 中的 Walsh 函数系被证明具有严格 $p$ 负型。本文发展的技术还提供了一种系统方法，用于构造对任意 $p \in (2, \infty)$，具有 $p$ 负型但对任意 $q > p$ 不具有 $q$ 负型的 $L_p(\Omega, \mu)$ 的子集。此类集合排除了某些类型等距嵌入到 $L_p$ 空间的存在性。