一般开集上散度测度场的柯西通量与高斯-格林公式

我们针对一般开集上 $L^p$ 中的散度测度场建立了内部和外部高斯-格林公式，其动机是通过公理基础中柯西通量对允许不连续和奇异性的连续介质力学的平衡律物理原理进行严格数学表述。该方法基于距离函数，可将任意给定开集边界上场的内部（相应外部）法向迹表示为该开集内部（相应外部）光滑逼近边界上经典法向迹的极限。对于具有连续边界的开集这一特例，可利用正则化距离显式刻画逼近光滑集。我们还证明了任意具有 Lipschitz 边界的开集都拥有从内部正则可变的 Lipschitz 边界。此外，给出了散度测度场与适当标量函数的一些新乘积法则，并探讨了这些乘积法则与场的法向迹作为 Radon 测度的表示之间的联系。借助这些公式，我们引入柯西通量作为定义于一般有界开集边界上的泛函，以严格数学表述平衡律物理原理，并证明柯西通量可由相应散度测度场表示。