面向形变扩散守恒律的前沿跟踪

本文提出了一种用于求解具有空间异质性、均匀凸性扩散律的标量守恒律的新型前沿跟踪方案，并证明了其逼近解收敛于唯一熵解。主要工具为达弗莫斯广义特征和库鲁斯科夫熵。关键在于，我们的方法能够处理经典理论完全失效的扩散律。作为具体演示，我们构造了一个初始数据有界但在有限时间内可无界的Cauchy问题，其扩散律为 $f(x,u)=xu^2$，即使在紧凑空间域上亦然。这种有限时间 blow-up 违反了最大原理，使得所有基于 $L^{\infty}$ 估计和紧凑性的经典存在性技术均不可用。然而，尽管 $u$ 趋于无界，扩散律 $f(x,u(x,t))$ 仍保持有界，而我们的前沿跟踪方案正是利用这一特性构建逼近，以收敛于熵解。