粒子系统的双曲守恒律与流体动力学极限

我们研究以下一类具有不连续通量的标量双曲守恒律：$\partial_t\rho+\partial_xF(x,\rho)=0$。此类守恒律的主要特征是通量函数在空间变量 $x$ 上的不连续性。由于 Kruzkov 的 $L^1$-压缩方法要求通量函数具有 Lipschitz 连续性，因此该方法在此不适用；且即使在经典熵条件下，Riemann 问题的熵解也不唯一。另一方面，众所周知，在统计力学中，某些具有不连续速度参数 $\lambda(x)$ 的微观相互作用粒子系统，在流体动力学极限下，形式上导出了具有不连续通量的标量双曲守恒律：$\partial_t\rho+\partial_x(\lambda(x)h(\rho))=0$。自然产生的问题是：流体动力学极限选择了哪种熵解，从而引出了此类守恒律合适且物理相关的熵解概念。本文是解决这一问题的第一步，并为一系列不连续通量函数提供了答案。具体而言，我们确定了该偏微分方程的熵条件，并通过结合我们的存在性结果与 Audusse-Perthame (2005) 针对该族通量函数的唯一性结果，证明了适定性；我们基于测度值熵解的概念和约化，建立了大粒子系统流体动力学极限的紧性框架以及其他近似解收敛到该偏微分方程的框架；最后，我们建立了由该偏微分方程的熵解控制的具有不连续速度参数的零范围过程 (ZRP) 的流体动力学极限。