扩展散度测度场、高斯-格林公式与柯西通量

我们在开放集上建立了针对扩展散度测度场 (即，其分布式散度为雷冯测度的向量值测度) 的高斯-格林公式。我们证明了对于几乎每个开放集，法向迹是一个支撑在集边界上的测度。此外，对于任意开放集，我们提供了法向迹在集边界上的表示作为测度值法向迹在逼近集边界上测度值法向迹的极限。进一步地，通过该理论，我们将从经典连续介质物理中的平衡定律扩展到一个通用框架，其中在任意开放集上的生产以雷冯测度进行度量，相关的柯西通量被限制为集边界上浓度为雷冯测度的测度。我们证明了存在一个扩展散度测度场，使得柯西通量可以通过该场在几乎每个开放集上的局部和每个开放集上的全局恢复。我们的结果推广了经典柯西定理（仅适用于连续向量场）并扩展了之前的柯西通量表述（这些表述产生向量场在 $L^{p}$ 内）。从而，我们在连续介质物理的公理化基础中的本构关系通过柯西通量，建立了维持不等式偏微分方程形式的等价性。