弱可微向量场、有限周长集与平衡律的高斯 - 格林定理

我们分析了一类弱可微向量场 ($\FF \colon \rn \to \rn$)，其性质为 $\FF\in L^{\infty}$ 且 $\div \FF$ 是一个 Radon 测度。我们研究的主要重点是引入任意有限周长集边界上任意散度测度场 $\FF$ 的法向迹的适当概念，以确保高斯 - 格林定理的有效性。为此，我们建立了一个基本逼近定理，该定理指出：给定一个在 $\rn$ 上关于 $\mathcal{H}^{N-1}$ 绝对连续的 Radon 测度 $\mu$，任何有限周长集都可以由一族具有光滑边界的集从该集关于测度 $\|\mu\|$ 的测度论内部进行本质逼近。利用该逼近定理，我们将 $\FF$ 在任意有限周长集 $(E)$ 边界上的法向迹推导为 $\FF$ 在具有光滑边界的逼近集边界上的法向迹的极限，从而使 $\FF$ 的高斯 - 格林定理在 $(E)$ 上成立。利用这些结果，我们分析了在任何定向曲面（即作为有限周长集边界一部分的 $(N-1)$ 维曲面）上由 Radon 测度有界的 Cauchy 通量，从而通过 Cauchy 通量发展了平衡律物理原理的一般数学表述。最后，我们将此框架应用于从平衡律公式推导具有测度值源项的平衡律方程组。该框架还允许通过双曲守恒律熵解的 Lax 熵不等式恢复 Cauchy 熵通量。