支持迹不等式的欧几里得区域的几何性质

我们研究有界有限周长集 $E \subset \mathbb R^n$ 的 $\tau(E)$ 的几何行为，其中 $\tau(E)$ 是由 Figalli--Maggi--Pratelli [Invent. Math. 2010] 引入的迹常数。该量是证明具有最优指数的定量等周不等式的关键要素。我们首先证明，对于每个 $\epsilon>0$，可以找到一个有界开集 $\Omega \subset \mathbb R^n$，它在以下意义上非常接近单位球 $\mathbb B^n$：$$\tau(\mathbb B^n)>\tau(\Omega)>\tau(\mathbb B^n)-\epsilon \quad \text{且} \quad P(\Omega \Delta \mathbb B^n)\le C(n)\epsilon,$$ 而同时 $\Omega$ 的补集具有无限多个连通分量。因此，即使当 $\Omega$ 具有高度复杂的几何结构时，$\tau(\Omega)$ 也可以任意接近 $\tau(\mathbb B^n)$。然后，我们在一个温和的附加假设下，建立了以 $\tau$ 表述的条件与文献中关于允许迹不等式的开集的两个经典判据之间的等价性。作为推论，我们在假设球分离性质的条件下，获得了支持迹不等式的区域的 John 型刻画。