近似迹的唯一性

我们研究 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\Omega)$（其中 $1\le p\le\infty$）中单个元素的近似迹。该迹的概念最初在 [AtE11] 中针对 $p=2$ 在一般开集 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 的背景下引入。近似迹表现出一种奇特的非唯一性现象。我们基于几何测度论的方法对该现象进行了详细分析，并给出了保证近似迹唯一性所需的极弱几何条件。特别地，我们证明了在具有连续边界的开集以及 $\mathbb{R}^2$ 中的任意连通区域上，近似迹是唯一的。此外，我们提供了一个示例，表明近似迹的唯一性依赖于 $p$。这些结果回答了若干开放问题。