具有对数凸密度的平面等周不等式

给定 $\mathbb{R}^2$ 上正的下半连续密度 $f$，加权体积 $V_f:=f\mathscr{L}^2$ 定义于 $\mathbb{R}^2$ 中 $\mathscr{L}^2$-可测集上。$\mathbb{R}^2$ 中有限周长集 $E$ 的 $f$-加权周长记为 $P_f(E)$。我们研究加权等周问题 $$I_f(v):=\inf\Big\{ P_f(E):E\text{ 是 }\mathbb{R}^2\text{ 中的有限周长集且 }V_f(E)=v\Big\}$$ 对于 $v>0$ 的极小元。假设 $f$ 形如 $f:\mathbb{R}^2\rightarrow(0,+\infty);x\mapsto e^{h(|x|)}$，其中 $h:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ 是非减凸函数。令 $v>0$，$B$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中满足 $V_f(B)=v$ 的中心球。我们证明 $B$ 是上述变分问题的极小元，并得到一个唯一性结果。