平面中具有径向幂权重的若干等周不等式

我们考虑具有体积密度 $|x|^\alpha$ 与周长密度 $|x|^\beta$ 的穿孔平面。我们证明，对于满足 $\alpha-\beta+1>0$、$\alpha\leq 2\beta$ 且 $\alpha(\beta+1)\leq\beta^2$ 的指标 $(\alpha,\beta)$，中心化球是唯一等周的，例外情形 $\alpha=\beta=0$ 对应于经典等周不等式。