幂零群移位中的轨道计数

我们研究了有限生成无挠幂零群 $G$ 的全 $G$-移位的轨道计数函数的渐近行为以及动力学 Mertens 定理。利用有限指数子群格上的 M{"o}bius 函数界限和已知的子群增长估计，我们得到了一个形式为 $$\sum_{|\tau|\le N}\frac{1}{e^{h|\tau|}}\sim CN^{\alpha}(\log N)^{\beta}$$ 的单一渐近式，其中 $|\tau|$ 是有限轨道 $\tau$ 的基数。对于通常的轨道计数函数，我们找到了上下界，并结合数值证据表明，对于非循环群的作用，不存在用初等函数表示的单一渐近式。