关于置换群在子集和多重集上的渐近自由作用

设 $G$ 为作用在基数为 $n$ 的有限集 $\Omega$ 上的置换群。$G$ 在 $\Omega$ 的所有大小为 $m$ 的子集构成的集合 $\Omega_m$ 上的诱导作用的轨道数满足平凡不等式 $|\Omega_m|/|G|\leq |\Omega_m/G|\leq |\Omega_m|$。本文利用 $G$ 的最小度或其某个具有小补集的子集的最小度，改进了上界。应用包括有限域上仿射空间中点构型、无标号图及超图的渐近计数。最后，引用置换群理论的已知结果表明，如果 $G$ 是除 $S_n$ 和 $A_n$ 之外的任意 2-传递群，则当 $m$ 和 $n$ 很大且比值 $m/n$ 远离 0 和 1 时，有 $|\Omega_m/G|\approx |\Omega_m|/|G|$。对于 $G$ 在 $\Omega$ 上所有权重为 $m$ 的多重集集合 $\Omega_{(m)}$ 上的诱导作用，只要比值 $m/n$ 不太小，类似的结论也成立。