关于置换群的 Saxl 图

设 $G$ 为集合 $\Omega$ 上的置换群。若 $\Omega$ 的一个子集在 $G$ 中的逐点稳定子平凡，则称其为 $G$ 的一个基。本文引入并研究一个相关的图 $\Sigma(G)$，称之为 $G$ 的 Saxl 图。$\Sigma(G)$ 的顶点为 $\Omega$ 中的点，两个顶点相邻当且仅当它们构成 $G$ 的一个基。该图编码了置换群的一些有趣性质。我们考察有限传递群 $G$ 的 $\Sigma(G)$ 的连通性、直径、哈密顿性、团数与独立数，并提出了若干开放问题。例如，我们猜想：若 $G$ 是一个具有大小为 $2$ 的基的本原群，则 $\Sigma(G)$ 的直径至多为 $2$。利用概率方法，我们对某些几乎单群族证明了该猜想。例如，当 $G=S_n$ 或 $A_n$（其中 $n>12$）且 $G$ 的点稳定子为本原子群时，该猜想成立。相比之下，我们可以构造出其 Saxl 图具有任意多个连通分支而不连通，或连通但直径任意大的非本原群。