原始群中以PSU(3,q)为正规层的原置换群的Burness-Giudici猜想

设 $G$ 为一个作用于集合 $\Omega$ 上的置换群，且存在两个不同的元素 $\alpha, \beta\in\Omega$ 使得 $G_{\alpha}\cap G_{\beta}=1$。$(G, \Omega)$ 的Saxl图 $\Sigma(G)$ 定义为顶点集合为 $\Omega$ 的图，其中两个顶点 $\alpha', \beta'$ 当且仅当 $G_{\alpha'}\cap G_{\beta'}=1$ 时相邻。Burness 和 Giudici 猜想称对于每一个原始置换群 $G$，其Saxl图 $\Sigma(G)$ 满足任意两个顶点共享一个公共邻居的性质。我们聚焦于证明所有正规层为秩为1的简单Lie型群的原始置换群 $G$（即 $soc(G)\in \{PSL(2,q),PSU(3,q), Ree(q),Sz(q)\}$）的Saxl图猜想；即证明 $soc(G)=PSL(2,q)$ 的情况已在两篇已发表的论文中处理。本文的目的是解决 $soc(G)=PSU(3,q)$ 的情况。为完成此工作，我们借助抽象群论和置换群论、有限酉几何、概率方法、数论（采用Weil估计）以及最重要的是代数组合学中的方法，其中提供了关键思想。