欧氏球面上 Wasserstein 空间的等距刚性

我们研究赋予由 $\mathbb{R}^{n+1}$ 范数继承距离之球面 $\mathcal{W}_2\left(\mathbb{S}^n,\|\cdot\|\right)$ 上二次 Wasserstein 空间的等距结构。我们证明 $\mathcal{W}_2\left(\mathbb{S}^n,\|\cdot\|\right)$ 是等距刚性的，即其等距群同构于 $\left(\mathbb{S}^n,\|\cdot\|\right)$ 的等距群。这与其环境空间 $\mathcal{W}_2\left(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|\right)$ 的非刚性形成鲜明对比，但与测地空间 $\mathcal{W}_2\left(\mathbb{S}^n,\sphericalangle\right)$ 的刚性一致。证明的关键步骤之一是使用均方误差函数以在 $\mathcal{W}_2\left(\mathbb{S}^n,\|\cdot\|\right)$ 中模拟位移插值。证明二次 Wasserstein 空间刚性的一大困难在于无法使用 Wasserstein 势技术。为说明其一般威力，我们用它证明了对于 $1 \leq p<2$ 的 $\mathcal{W}_p\left(\mathbb{S}^1, \|\cdot\|\right)$ 的等距刚性。