卡诺群上 Wasserstein 空间 $\mathcal{W}_1(\mathbf{G})$ 的等距刚性

本文旨在研究赋予水平严格凸范数的卡诺群上的 $1$-Wasserstein 空间 $\mathcal{W}_1(\mathbf{G})$ 的等距映射。卡诺群上水平严格凸范数的著名例子包括赋予 Heisenberg-Kor\'anyi 范数或 Naor-Lee 范数的海森堡群 $\mathbb{H}^n$；以及赋予 Kor\'anyi 型范数的 H 型岩泽群。我们证明在一般卡诺群上总存在水平严格凸范数。本文的主要结果表明，若 $(\mathbf{G},N_{\mathbf{G}})$ 是一个卡诺群，其中 $N_{\mathbf{G}}$ 是 $\mathbf{G}$ 上的水平严格凸范数，则 Wasserstein 空间 $\mathcal{W}_1(\mathbf{G})$ 是等距刚性的。即，对每一个等距映射 $\Phi:\mathcal{W}_1(\mathbf{G})\to\mathcal{W}_1(\mathbf{G})$，存在等距映射 $\psi:\mathbf{G}\to \mathbf{G}$ 使得 $\Phi=\psi_{\#}$。