Wasserstein空间等距研究——实直线

近期 Kloeckner 描述了二次 Wasserstein 空间 $\mathcal{W}_2\left(\mathbb{R}^n\right)$ 的等距群结构。结果表明实直线的情形是特殊的,在于存在一种奇异的等距流。沿着这一研究思路,我们计算了 $\mathrm{Isom}\left(\mathcal{W}_p(\mathbb{R})\right)$,即对所有 $p \in [1, \infty)\setminus\{2\}$ 的 Wasserstein 空间 $\mathcal{W}_p(\mathbb{R})$ 的等距群。我们证明 $\mathcal{W}_2(\mathbb{R})$ 在参数 $p$ 上同样特殊:$\mathcal{W}_p(\mathbb{R})$ 等距刚性成立当且仅当 $p\neq 2$。关于底空间,我们证明若将 $\mathbb{R}$ 替换为紧区间 $[0,1]$,则 $p=2$ 的特殊性消失。令人惊讶的是,在该情形下,$\mathcal{W}_p\left([0,1]\right)$ 等距刚性成立当且仅当 $p\neq1$。此外,$\mathcal{W}_1\left([0,1]\right)$ 容许分裂质量的等距变换,且 $\mathrm{Isom}\left(\mathcal{W}_1\left([0,1]\right)\right)$ 无法嵌入到 $\mathrm{Isom}\left(\mathcal{W}_1(\mathbb{R})\right)$ 中。