以 Wasserstein 几何学术语描述形状空间

对于一个波雷尔空间 $X$，我们定义形状空间 $\mathcal{S}_p(X)$ 为 $W_p(X)$ 相对于 $X$ 同质群 $ISO(X)$ 作用的商空间，其中该作用通过测度的推送实现。若 $X$ 以及 $G$ 的作用满足适当条件，瓦斯斯坦距离可自然转化为形状距离。我们证明了这一点，例如当 $X$ 为完备连通黎曼流形且 $G$ 采用紧开拓扑时即成立。在最终提出 $\mathcal{S}_2(\mathbb{R}^n)$ 上切空间概念之前，我们证明当 $X$ 以及 $G$ 的作用确实满足适当条件时，$\mathcal{S}_p(X)$ 也是波雷尔空间。此外，我们将 $\mathcal{S}_p(X)$ 中的度量测地线与 $W_p(X)$ 中的测地线联系起来。