关于等距嵌入到 Wasserstein 型空间的到达半径

我们研究测地度量空间 $(X,\operatorname{dist})$ 在其 $p$-Wasserstein 空间中的自然等距嵌入 $X\hookrightarrow W_p(X)$ 的（Federer 意义上的）到达半径。我们证明，若点 $x\in X$ 可由两条极小测地线与另一点 $y\in X$ 相连，则 $\operatorname{reach}(x, X\subset W_p(X)) = 0$。这包括 $X$ 为紧流形或非单连通流形的情形。另一方面，我们证明当 $X$ 为 CAT(0) 空间时，$\operatorname{reach}(X\subset W_p(X)) = \infty$。无穷到达半径使我们能够考察投影映射的正则性。此外，我们通过考虑等距嵌入 $X\hookrightarrow W_\vartheta(X)$ 到 Orlicz--Wasserstein 空间（由 Sturm 提出的经典 Wasserstein 空间的推广）复现了这些发现。最后，我们确立了 $X$ 到 $\operatorname{Dgm}_\infty$（配备瓶颈距离的持久图空间）的等距嵌入的到达半径为零。