广义 Wasserstein 空间的对偶性与商空间

本文利用 Liero、Mielke 和 Savaré 在[21]中的思想，在 Picolli 和 Rossi 引入的广义 Polish 度量空间上建立广义 Wasserstein 距离 $W_1^{a,b}$ 的 Kantorovich 对偶性。作为推论，我们给出了 $W_1^{a,b}$ 与平坦度量一致的另一种证明，这是[25]的主要结果，并因此得到一个独立有趣的结果：对任意 Polish 度量空间 $X$，$\left(\mathcal{M}(X), W^{a,b}_1\right)$ 是测地空间。我们还证明了对紧群 $G$ 在 Polish 度量空间 $X$ 上的等距作用，$(\mathcal{M}^G(X),W_p^{a,b})$ 与 $(\mathcal{M}(X/G),W_p^{a,b})$ 等距同构；以及若干关于广义 Wasserstein 空间的 Gromov-Hausdorff 收敛与等变 Gromov-Hausdorff 收敛的结果。后述结果分别在标准 Wasserstein 空间中由[22]、[14]和[8]证明。