超越 Hausdorff 与 Kantorovich 的广义 Kantorovich-Rubinstein 对偶性
计算机科学中的逻辑
2026-02-17 v2 概率论
摘要
经典 Kantorovich-Rubinstein 对偶性保证了基于 transport plans (couplings) 定义的概率分布空间上的 metric 与基于 price functions 定义的 metric 之间的一致性。两种构造都被提升到 set functors 的通用层次，基于 couplings 的构造称为 Wasserstein 或称为耦合基于提升，基于 price-function 基于构造称为 Kantorovich 或 codensity 提升，两者都基于给定 functor 的 quantitative modalities 的选择。已知，每个耦合基于提升都可以表示为 price-function 基于提升；然而，后者一般需要使用额外的 modalities。我们给出一个例子表明这不可避免。我们指出在相同 modalities 可用的情况下满足广义 Kantorovich-Rubinstein 对偶性的情况。我们在两个重要案例中建立了满足此意义上的广义 Kantorovich-Rubinstein 对偶性：Lévy-Prokhorov distance on distributions，这在机器学习中因其有利的 stability properties 而广泛应用，以及通过结合 Hausdorff 与 Kantorovich-Rubinstein distance 派生的分布凸集上的 standard metric。
引用
@article{arxiv.2510.23552,
title = {Generalized Kantorovich-Rubinstein Duality beyond Hausdorff and Kantorovich},
author = {Paul Wild and Lutz Schröder and Karla Messing and Barbara König and Jonas Forster},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.23552},
year = {2026}
}