关于同胚群的可等距化

设 $G$ 为拓扑空间 $X$ 的同胚群。$G$ 是 $\textit{（真）可等距化}$的，若存在 $X$ 上 $G$-不变的（真）规范结构。$G$ 是 $\textit{等正则}$的，若对每 $x \in X$ 及 $x$ 在 $X$ 中每个开邻域 $U$，存在 $x$ 在 $X$ 中开邻域 $V$ 使得 $cl(V) \subset U$ 且每 $y \in X$ 有开邻域 $N_y$ 满足：对每个 $g \in G$，若 $g(N_y) \cap cl(V) \neq \emptyset$，则 $g(N_y) \subset U$。$G$ 是 $\textit{近真}$的，若对 $X$ 的所有紧子集 $A$ 与 $B$，$cl$ ( $\bigcup$ { $g(A):g\in G$ 且 $g(A)\cap B \neq \emptyset$ } ) 为紧。$G$ $\textit{在}$ $X$ $\textit{上真作用}$指对 $X$ 的所有紧子集 $A$ 与 $B$，当 $G$ 赋予紧开拓扑时子集 $G_{A,B}$ = { $g\in G : g(A) \cap B \neq \emptyset$ } 为紧。等距化定理：若 $X$ 为 Hausdorff 空间且 $G$ \ $X$ 为仿紧正则空间，则：$G$ 可等距化当且仅当 $G$ 等正则。真等距化定理：若 $X$ 为局部紧 $\sigma$-紧 Hausdorff 空间且 $G$ \ $X$ 为正则空间，则：$G$ 真可等距化当且仅当 $G$ 等正则且近真。真等距化定理有如下推论。ABEL-MANOUSSOS-NOSKOV 定理：若 $X$ 为局部紧 $\sigma$-紧 Hausdorff 空间且 $G$ 在 $X$ 上真作用，则 $X$ 真可等距化。