离散度量空间 Riemann 嵌入的刚性

设 $M$ 是一个完备、连通的 Riemann 曲面，并假设 $\mathcal{S} \subset M$ 是一个离散子集。仅从 $\mathcal{S}$ 中点对之间在曲面上的所有距离信息中，我们能了解到关于 $M$ 的什么？我们证明，如果 $\mathcal{S}$ 中的距离对应于一个 $2$ 维格点，或更一般地对应于 $\mathbb{R}^2$ 中任意一个网中的距离，那么 $M$ 等距同构于欧几里得平面。我们由此发现，某些离散度量空间的 Riemann 嵌入是相当刚性的。一个推论是，严格包含 $\mathbb{Z}^2 \times \{ 0 \}$ 的 $\mathbb{Z}^3$ 的子集不能被等距嵌入到任何完备的 Riemann 曲面中。