Wasserstein 空间中的 Busemann 函数：存在性、闭式表达式及分片应用

Busemann 函数近期在各种几何机器学习问题中受到广泛关注，因为其自然地定义了黎曼流形上指向测地射线的投影，并推广了超平面的概念。由于数据的多个来源可以方便地建模为概率分布，研究该函数在 Wasserstein 空间中具有意义，而该空间由 Optimal Transport 指标诱导出丰富的黎曼结构。本文我们研究 Wasserstein 空间中 Busemann 函数的存在性与计算问题，探讨其在具有测地射线的 Wasserstein 空间中的情形。我们在两个重要情形下建立了闭式表达式：一种是一维分布，另一种是高斯测度。这些结果使得对 $\mathbb{R}$ 上的概率分布能够实现显式的投影方案，从而允许我们定义基于高斯混合和标记数据集的新的 Sliced-Wasserstein 距离。我们在合成数据集以及迁移学习问题上展示了这些原创方案的高效性。