投影朗之万动力学与熵最优传输的梯度流

经典（过阻尼）朗之万动力学为从其不变测度采样提供了自然算法，该不变测度在概率测度空间上唯一最小化一个能量泛函，并在噪声参数较小时集中于相关势的极小点附近。我们引入了类似的扩散动力学，用于从熵正则化最优传输采样，该传输在给定两个边缘概率测度 $\mu$ 和 $\nu$（定义在 $\mathbb{R}^d$ 上）的耦合集合 $\Pi(\mu,\nu)$ 约束下唯一最小化同一能量泛函，并在正则化参数较小时集中于最优传输耦合附近。更具体地，我们的过程满足两个关键性质：第一，若解在初始时位于 $\Pi(\mu,\nu)$ 中，则其任意时刻的定律仍停留在 $\Pi(\mu,\nu)$ 中。第二，长时间极限是熵最优传输问题的唯一解。此外，借助一种新的对数 Sobolev 型不等式，我们证明了对足够大的正则化参数以及一类严格包含全部强对数凹测度的边缘分布，收敛以指数速度发生。通过研究子流形 $\Pi(\mu,\nu)$ 所诱导的 Wasserstein 几何，我们认为该 SDE 可视为该耦合空间上的 Wasserstein 梯度流（至少在 $d=1$ 时），并给出了 $d \ge 2$ 时的推测梯度流。主要技术困难源于约束动力学于 $\Pi(\mu,\nu)$ 的条件期望项的出现。