Sinkhorn流的热力学结构

熵正则化最优传输（optimal transport），与统计力学中的Schr"odinger桥问题有着强烈的关联，已被广泛应用于轨迹推断和生成模型等领域。对这一问题的 renewed interest（ renewed interest）的主要驱动力在于，最近发展出的快速矩阵缩放算法——即迭代比例贴合或Sinkhorn算法——相对于传统方法在计算复杂度上具有优势。本文从该算法的热力学起源（即Schr"odinger问题的热力学起源）出发，受现代扩散几何理论的启发，探讨该算法的热力学结构。我们肯定了Sinkhorn流（在连续时间中可视为镜像下降）是否为熵在形式黎曼几何中的梯度流。我们证明了该流的自由边际动力学具有nonlocal Wasserstein梯度结构。这为Sinkhorn流的随机动力学提供了物理解释，即具有法线扩散化学势演化的粒子。同时，这也为其几何和收敛性带来了一套标准的函数不等式。我们证明了熵能量（de Bruijn）恒等式、Poincaré不等式，以及一种Bakry-\'Emery型条件下，使得对数 Sobolev 不等式（LSI）成立并可推出Sinkhorn流在熵上的指数级收敛。最后，我们讨论了计算应用，如停止启发式和latent空间设计准则，这些都利用了LSI，并且从物理解释出发，讨论了自然系统其平衡态的松弛天然地解决了熵最优传输或Schr"odinger桥问题。