双样本 Schr"odinger 桥估计的 Sinkhorn 迭代统计分析

Schr"odinger 桥问题寻求连接两个给定概率分布并实现最小能量修改的最优随机过程。虽然 Sinkhorn 算法广泛用于求解静态最优传输问题，但近期工作（Pooladian 和 Niles-Weed, 2024）提出了 Sinkhorn 桥，通过将最优传输嵌入到 SDE 的时间依赖漂移中来估计 Schr"odinger 桥，在单样本估计场景下（即真实源分布完全可得）具有统计保证。本 work进一步论证该方法的有效性，研究了在双样本估计场景中（即仅从源和目标分布中获得有限样本）的中间 Sinkhorn 迭代的统计性能。具体而言，建立了 Sinkhorn 桥迭代的平方总变差误差统计下界：$O(1/m+1/n + r^{4k})~(r \in (0,1))$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为源和目标分布的样本大小，$k$ 为 Sinkhorn 迭代次数。该结果为 Schr"odinger 桥估计器的有限样本性能提供了理论保证，并为选择样本规模和 Sinkhorn 迭代次数提供了实用指导。值得注意的是，我们的理论结果适用于包括 [SF]$^2$M、DSBM-IMF、BM2 和 LightSB(-M) 在内的多种代表性方法，这些方法之间原本未被注意到的联系。