Sinkhorn 迭代及其梯度的非渐近收敛界：一种耦合方法

计算最优传输（OT）近年来已成为一个强大的框架，在多个领域有应用。本文关注原始 OT 问题的一个松弛——熵正则化 OT 问题，其允许实现高效且实用的算法解，即便在高维设定下。该公式也称为薛定谔桥问题，明显与随机最优控制（SOC）相关，并可用流行的 Sinkhorn 算法求解。在离散状态空间情形下，该算法已知具有指数收敛性；然而，在更一般设定下获得类似收敛速率仍是活跃的研究领域。本工作中，我们分析了定义在 $d$ 维环面 $\mathbb{T}_L^d$ 上、且关于 $\mathbb{T}_L^d$ 的 Haar 测度具有密度的概率测度下 Sinkhorn 算法的收敛性。特别地，我们证明了 Sinkhorn 迭代及其梯度的逐点指数收敛。我们的证明依赖于这些迭代与由 SOC 问题获得的值函数沿 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的演化之间的联系。我们的方法新颖之处在于它是纯概率的，并依赖于环面上受控扩散的反射耦合技术。